Question

若椭圆C：的离心率e为, 且椭圆C的一个焦点与抛物线y²＝－12x的焦点重合．

(1) 求椭圆C的方程；

(2) 设点M(2,0), 点Q是椭圆上一点, 当|MQ|最小时, 试求点Q的坐标；

(3) 设P(m,0)为椭圆C长轴（含端点）上的一个动点, 过P点斜率为k的直线l交椭圆与

A,B两点, 若|PA|²＋|PB|²的值仅依赖于k而与m无关, 求k的值．

Answer

（1）

（2）(5,0)

（3）k＝±．

【解析】

试题分析：【解析】
（1）∵依题意a=5,c=3∴椭圆C的方程为：      2¢

（2）设Q(x,y), －5≤x≤5

∴

∵对称轴

∴当x＝5时, |MQ|2达到最小值,

∴当|MQ|最小时, Q的坐标为(5,0)                     ·6¢

（3）设A(x1,y1), B(x2,y2), P(m,0)(－5≤m≤5), 直线l：y＝k(x－m)

由

得,  8¢

∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝

y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝·   10¢

∴

＝(x1＋x2)2－2x1x2－2a(x1＋x2)＋(y1＋y2)2－2y1y2－2y1y2＋2a2

＝    -12分

∵|PA|2＋|PB|2的值仅依赖于k而与m无关

∴512－800k2＝0∴k＝±．     13¢

考点：直线与椭圆的位置关系