Question

平面内动点到点的距离等于它到直线的距离，记点的轨迹为曲．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若点，，是上的不同三点，且满足．证明： 不可能为直角三角形．

Answer

（1）

（2）利用向量的关系式来得到坐标关系式，然后借助于反证法来说明不成立。

【解析】

试题分析：解法一：（Ⅰ）由条件可知，点到点的距离与到直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，其方程为．   4分

（Ⅱ）假设是直角三角形，不失一般性，设，

，，，则由，

，，

所以．          6分

因为，，，

所以．           8分

又因为，所以，，

所以．  ①

又，

所以，即． ②   10分

由①，②得，所以． ③

因为．

所以方程③无解，从而不可能是直角三角形．       12分

解法二：（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）设，，，由，

得，．           6分

由条件的对称性，欲证不是直角三角形，只需证明．

当轴时，，，从而，，

即点的坐标为．

由于点在上，所以，即，

此时，，，则．    8分

当与轴不垂直时，

设直线的方程为：，代入，

整理得：，则．

若，则直线的斜率为，同理可得：．

由，得，，．

由，可得．

从而，

整理得：，即，①

．

所以方程①无解，从而．           11分

综合，， 不可能是直角三角形．         12分

考点：抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系