Question

已知函数的图象在点处的切线斜率为．

（Ⅰ）求实数的值；

（Ⅱ）判断方程根的个数，证明你的结论；

（Ⅲ）探究：是否存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右的两部分分别位于曲线在该点处切线的两侧？若存在，求出点A的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）

（2）方程有且只有一个实根．

（3）存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．

【解析】

试题分析：解法一：（Ⅰ）因为，所以，

函数的图象在点处的切线斜率．

由得：．                    4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，令．

因为，，所以在至少有一个根．

又因为，所以在上递增，

所以函数在上有且只有一个零点，即方程有且只有一

个实根．                         7分

（Ⅲ）证明如下：

由，，可求得曲线在点处的切

线方程为，

即．                    8分

记

，

则．               11分

（1）当，即时，对一切成立，

所以在上递增．

又，所以当时，当时，

即存在点，使得曲线在点A附近的左、右两部分分别位于曲线

在该点处切线的两侧．                   12分

（2）当，即时，

时，；时，；

时，．

故在上单调递减，在上单调递增．

又，所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的

同侧．                                   13分

（3）当，即时，

时，；时，；时，．

故在上单调递增，在上单调递减．

又，所以当时，；当时，，

即曲线在点附近的左、右两部分都位于曲线在该点处切线的同侧．

综上，存在唯一点使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．                             14分

解法二：（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一；

（Ⅲ）证明如下：

由，，可求得曲线在点处的切

线方程为，

即．                  8分

记

，

则．            11分

若存在这样的点，使得曲线在该点附近的左、右两部分都

位于曲线在该点处切线的两侧，则问题等价于t不是极值点，

由二次函数的性质知，当且仅当，即时，

t不是极值点，即．

所以在上递增．

又，所以当时，；当时，，

即存在唯一点，使得曲线在点附近的左、右两部分分别

位于曲线在该点处切线的两侧．                         14分

考点：函数、导数