Question

已知四棱锥P－ABCD的三视图如下图所示，E是侧棱PC上的动点．

（１）求四棱锥P－ABCD的体积；

（２）是否不论点E在何位置，都有BD⊥AE？证明你的结论；

（３）若点E为PC的中点，求二面角D－AE－B的大小.

Answer

（１）（２）连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE（３）

【解析】

试题分析：(1)由三视图可知，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，

侧棱PC⊥底面ABCD，且PC＝2.                   1分

∴，即四棱锥P－ABCD的体积为.   3分

(2)不论点E在何位置，都有BD⊥AE.                   4分

证明如下：连结AC，∵ABCD是正方形，∴BD⊥AC.          5分

∵PC⊥底面ABCD，且BD?平面ABCD，∴BD⊥PC.          6分

又∵AC∩PC＝C，∴BD⊥平面PAC.          7分

∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC.

∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE.          8分

(3)解法1：在平面DAE内过点D作DF⊥AE于F，连结BF.

∵AD＝AB＝1，DE＝BE＝＝，AE＝AE＝，

∴Rt△ADE≌Rt△ABE，

从而△ADF≌△ABF，∴BF⊥AE.

∴∠DFB为二面角D－AE－B的平面角．                 10分

在Rt△ADE中，DF＝＝＝， ∴BF＝.          11分

又BD＝，在△DFB中，由余弦定理得

cos∠DFB＝，                12分

∴∠DFB＝，           

即二面角D－AE－B的大小为.                     13分

解法2：如图，以点C为原点，CD，CB，CP所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则D(1,0,0)，A(1,1,0)，B(0,1,0)，E(0,0,1)，               9分

从而＝(0,1,0)，＝(－1,0,1)，＝(1,0,0)，＝(0，－1,1)．

设平面ADE和平面ABE的法向量分别为

，

由，取

由，取 11分

设二面角D－AE－B的平面角为θ，

则，    12分

∴θ＝，即二面角D－AE－B的大小为     .    13分

考点：三视图，空间线面垂直及线线角