Question

如图，旅客从某旅游区的景点处下山至处有两种路径.一种是从沿直线步行到，另一种从沿索道乘缆车到，然后从沿直线步行到.现有甲、乙两位游客从处下山，甲沿匀速步行，速度为 m/min，在甲出发2 min后，乙从乘缆车到，在处停留1 min后，再从匀速步行到. 假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路长1260 m ，经测量，，.

（1）求索道的长；

（2）问乙出发后多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

（3）为使两位游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

Answer

（1）m   （2）   （3）（单位：m/min）

【解析】（1）在中，∵，，∴，，

从而.

由正弦定理，得，所以索道的长为1040（m）.

（2）假设乙出发分钟后，甲、乙两游客距离为，此时，甲行走了m，乙距离处m，

由余弦定理得，

∵，即，故当(min)时，甲、乙两游客距离最短.

（3）由正弦定理，，得（m），乙从出发时，甲走了（m），还需要走（m）才能到达，

设乙步行的速度为m/min，由题意，，解得，

∴为使两游客在处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在（单位：m/min）范围内.

【考点定位】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、二次函数的最值以及三角函数的基本关系、两角和的正弦等基础知识，考查数学阅读能力和分析解决实际问题的能力.