Question

设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和. 记，，其中为实数.

（1）若，且，，成等比数列，证明：；

（2）若是等差数列，证明.

Answer

见解析

【解析】

[证明]（1）由题设，，由，得，又，，成等比数列，∴，即，化简得，∵，∴.

因此对于所有的，

从而对于所有的，.

（2）设数列的公差为，则，即，，

代入的表达式，整理得，对于所有的有，

令，，，则对于所有的有，

在上式中取，

∴，

从而有，由②③得，代入①得，

从而，即，，，

若，则由得，与题设矛盾，∴，又，∴.

【考点定位】本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考查分析转化以及推理论证能力.