Question

设函数，，其中为实数.

（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；

（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论.

Answer

（1）

（2）当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.

【解析】（1）∵，考虑到函数的定义域为，故，进而解得

，即在上是单调减函数. 同理，在上是单调增函数.

由于在是单调减函数，故，从而，即.

令，得，当时，；当时，，

又在上有最小值，所以，即，

综上所述，.

（2）当时，必是单调增函数；当时，令，

解得，即，

∵在上是单调函数，类似（1）有，即，

综合上述两种情况，有.

①当时，由以及，得存在唯一的零点；

②当时，由于，，且函数在上的图象不间断，∴在是单调增函数，∴在上存在零点. 另外，当时，，则在上是单调增函数，只有一个零点.

③当时，令，解得.

当时，；当时，. ∴是的最大值点，且最大值为.

1)当，即时，有一个零点.

2)当，即时，有两个零点. 实际上，对于，由于，，且函数在上的图象不间断，∴在上存在零点.

另外，当时，，故在上是单调增函数，∴在上有一个零点.

下面需要考虑在上的情况，先证，

为此，我们要证明：当时，，设，则，再设，则.

当时，，∴在上是单调增函数，

故当时，，从而在上是单调增函数，进而当

时，，即当时，.

当，即时，，又，且函数

在的图象不间断，∴在上存在零点.

又当时，，故在是单调减函数，所以，在上只有一个零点.

综上所述，当或时，的零点个数为1；当时，的零点个数为2.

【考点定位】本小题主要考查导数的运算及用导数研究函数的性质，考查函数、方程及不等式的相互转化，考查综合运用数学思想方法分析与解决问题及推理论证能力.