Question

设数列：，即当时，记.记. 对于，定义集合是的整数倍，，且.

（1）求集合中元素的个数；

（2）求集合中元素的个数.

Answer

（1）2     （2）1008

【解析】（1）由数列的定义，得，，， ，，，，，，，，∴，，，，

，，， ，，，

∴，，，，，

∴集合中元素的个数为5.

（2）先证：，

事实上，①当时，，，原等式成立；

②当时成立，即，

则时，

，

综合①②可得，于是，

，

由上式可知是的倍数，而，

∴是的倍数，

又不是的倍数，

而，

∴不是的倍数，

故当时，集合中元素的个数为，

于是，当时，集合中元素的个数为，

又，故集合中元素的个数为.

【考点定位】本小题主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识，考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力.