Question

已知函数f（x）=2﹣|x|，无穷数列{a_n}满足a_n+1=f（a_n），n∈N^*

（1）若a₁=0，求a₂，a₃，a₄；

（2）若a₁＞0，且a₁，a₂，a₃成等比数列，求a₁的值

（3）是否存在a₁，使得a₁，a₂，…，a_n，…成等差数列？若存在，求出所有这样的a₁，若不存在，说明理由．

Answer

（1）a2=2，a3=0，a4=2（2）a1=1或（3）存在

【解析】

试题分析：（1）由题意，代入计算得a2=2，a3=0，a4=2；

（2）a2=2﹣|a1|=2﹣a1，a3=2﹣|a2|=2﹣|2﹣a1|，

①当0＜a1≤2时，a3=2﹣（2﹣a1）=a1，

所以，得a1=1；

②当a1＞2时，a3=2﹣（a1﹣2）=4﹣a1，

所以，得（舍去）或．

综合①②得a1=1或．

（3）假设这样的等差数列存在，那么a2=2﹣|a1|，

a3=2﹣|2﹣|a1||，由2a2=a1+a3得2﹣a1+|2﹣|a1||=2|a1|（*），

以下分情况讨论：

①当a1＞2时，由（*）得a1=0，与a1＞2矛盾；

②当0＜a1≤2时，由（*）得a1=1，从而an=1（n=1，2，…），

所以{an}是一个等差数列；

③当a1≤0时，则公差d=a2﹣a1=（a1+2）﹣a1=2＞0，

因此存在m≥2使得am=a1+2（m﹣1）＞2，

此时d=am+1﹣am=2﹣|am|﹣am＜0，矛盾．

综合①②③可知，当且仅当a1=1时，a1，a2，…，an，…成等差数列．

考点：等差关系的确定；数列的函数特性；等比关系的确定