Question

已知双曲线的左、右焦点分别为离心率为直线与C的两个交点间的距离为

（I）求；

（II）设过的直线l与C的左、右两支分别相交有A、B两点，且证明：

Answer

（I）（II）见解析

【解析】（Ⅰ）由题设知，即，故.

所以C的方程为.

将y=2代入上式，求得.

由题设知，，解得.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为.  ①

由题意可设的方程为，，代入①并化简得

.

设，，则

，，，.于是

，

由得，即.

故，解得，从而.

由于，

，

故，

.

因而，所以、、成等比数列.

（1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义的等量关系，进而确定曲线方程；(2)利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将、、表示出来，然后借助证明等比中项。

【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查舍而不求的思想以及计算能力.