Question

如图，在四棱锥中，，，，平面底面，.和分别是和的中点，求证：

（Ⅰ）底面；

（Ⅱ）平面；

（Ⅲ）平面平面.

Answer

把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直是常见的转化.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.要证直线和平面平行，可以利用直线和平面平行的判定定理完成。证明平面与平面垂直，需要在一个平面内找到一条和另一个平面垂直的直线，依据平面与平面垂直的判定定理。

【解析】（Ⅰ）因为平面底面，且垂直于这两个平面的交线，

所以底面.

（Ⅱ）因为，，是的中点，

所以，且.

所以为平行四边形.

所以，.

又因为平面，平面，

所以平面.

（Ⅲ）因为，并且为平行四边形，

所以,.

由（Ⅰ）知底面，

所以，

所以平面.

所以.

因为和分别是和的中点，

所以.

所以.

所以平面.

所以平面平面.

【考点定位】本题考查了直线和平面平行、垂直的判定定理，平面与平面垂直的判定定理和性质定理，考查推理论证能力.