Question

如图, 三棱柱ABC－A₁B₁C₁中, 侧棱A₁A⊥底面ABC,且各棱长均相等. D, E, F分别为棱AB, BC, A₁C₁的中点.

(Ⅰ) 证明EF//平面A₁CD;

(Ⅱ) 证明平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁;

(Ⅲ) 求直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值.

Answer

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 见解析(Ⅲ)

【解析】(Ⅰ)证明：在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥，且AC=，连结ED，在中，因为D、E分别为AB，BC的中点，所以DE=且DE∥AC，又因为F为的中点，可得=DE，且∥DE，

即四边形为平行四边形，所以EF∥D，

又EF平面A1CD，D平面A1CD，所以EF//平面A1CD.

(Ⅱ)证明：由于底面ABC是正三角形，D为AB的中点，

所以CD⊥AB，又由于侧棱⊥底面ABC，

CD平面A1CD，所以平面A1CD⊥平面A1ABB1.

(Ⅲ)在平面A1ABB1内，过点B作BG⊥，交直线于点G，连结CG，

由于平面A1CD⊥平面A1ABB1，而直线是平面A1CD与平面A1ABB1的交线，

所以BG⊥平面A1CD，由此得为直线BC与平面A1CD所成的角.

设棱长为，可得，由∽，易得BG=，

在中，，

所以直线BC与平面A1CD所成角的正弦值为.

本题第（Ⅰ）问，证明线面平行，可以在面内找一条直线平行于EF，在几何证明题中，一般遇到中点，可以联想中位线的思想；第(Ⅱ)问，证明面面垂直，必须在一个面内找一条直线垂直另外一个平面；第(Ⅲ)问，先找出线面角，再解直角三角形求出结果.证明平行与垂直关系时，注意写全条件；用几何法求线面角、二面角等空间角时，要注意在解答过程中指出谁是线面角或二面角的平面角等.

【考点定位】本小题主要考查直线与平面平行、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识、考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.