Question

已知椭圆的焦距为4，且过点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设为椭圆上一点，过点作轴的垂线，垂足为。取点,连接，过点作的垂线交轴于点。点是点关于轴的对称点，作直线，问这样作出的直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点？并说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）直线与椭圆只有一个公共点

【解析】（1）因为椭圆过点

 且 

       椭圆C的方程是

（2）

由题意，各点的坐标如上图所示，

则的直线方程：

化简得

又，

所以带入

求得最后

所以直线与椭圆只有一个公共点.

第（1）题根据题意确定的大小，再将带入方程，确定椭圆的方程；第（2）题是存在性问题，根据题意，设出，根据条件写出的直线方程，并进行化简，然而点坐标又在椭圆上，带入方程，求出，即可判断直线是否与椭圆C一定有唯一的公共点.

【考点定位】考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线和椭圆的位置关系，并考查数形结合思想，逻辑推理能力及运算能力.