Question

已知函数

(Ⅰ)设，求的单调区间;

(Ⅱ) 设，且对于任意，.试比较与的大小.

Answer

(Ⅰ) 单调递减区间是，单调递增区间是 

(Ⅱ)

【解析】(Ⅰ)由得

（1）当时，

(i)若，当时，恒成立，

所以函数的单调递减区间是.

(ii)若，当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增.

所以的单调递减区间是，单调递增区间是

（2）当时，令得，

由得

显然

当时，，函数单调递减；

当时，，函数单调递增.

所以函数的单调递减区间是，

单调递增区间是.

(Ⅱ)由题意知函数在处取得最小值，

由（I）知是的唯一极小值点，

故，整理得，

令则

由得

当时，，单调递增；

当时，，单调递减.

因此

故，即

即

【考点定位】本题考查导数法研究函数的单调性和相关函数值的大小比较，考查分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.函数的单调区间判断必然通过导数方法来解决，伴随而来的是关于的分类讨论.比较与的大小时要根据已知条件和第一问的知识储备，构造新的函数利用单调性直接运算函数值得到结论.本题具备导数研究函数单调性的特征，必然按照程序化运行，即求导、关于参数分类讨论、确定单调区间等步骤进行.而第二问则是在第一问的基础上进一步挖掘解题素材，如隐含条件的发现、新函数的构造等，都为解决问题提供了有力支持.