Question

在平面直角坐标系中，已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长为，离心率为.

(I)求椭圆的方程;

(II) 为椭圆上满足的面积为的任意两点，为线段的中点，射线交椭圆与点，设，求实数的值.

Answer

(I)         (Ⅱ)  或

【解析】(I)设椭圆的方程为,

由题意知，解得

因此椭圆的方程为

(II)（1）当两点关于轴对称时，

设直线的方程为，由题意知或，

将代入椭圆方程得.

所以

解得或.

又，

因为为椭圆上一点，所以，或

又因为所以或

（2）当两点关于轴不对称时，

设直线的方程为，将其代入椭圆方程得

.

设，由判别式可得，

此时

所以，

因为点到直线的距离为，

所以

令，则

解得或，即或.

又，

因为为椭圆上一点，所以，

即，所以或

又因为所以或

经检验，适合题意.

综上可知或

【考点定位】本题基于椭圆问题综合考查椭圆的方程、直线和椭圆的位置关系、平面向量的坐标运算等知识，考查方程思想、分类讨论思想、推理论证能力和运算求解能力.第一问通过椭圆的性质确定其方程，第二问根据两点关于轴的对称关系进行分类讨论，分别设出直线的方程，通过联立、判断、消元等一系列运算“动作”达成目标.本题极易简单考虑设直线的形式而忽略斜率不存在的情况造成漏解.在联立方程得到后，后续运算会多次出现这一式子，换元简化运算不失为一种好方法，令，搭建了与的桥梁，使坐标的代入运算更为顺畅，使“化繁为简”这一常用原则得以完美呈现.