Question

如图，在边长为1的等边三角形中，分别是边上的点，，是的中点，与交于点，将沿折起，得到如图所示的三棱锥，其中．

(1) 证明：//平面；

(2) 证明：平面；

(3) 当时，求三棱锥的体积．

Answer

(1)见解析 (2) 见解析(3)

【解析】（1）在等边三角形中， 

,在折叠后的三棱锥中

也成立， ,平面，

平面，平面；

（2）在等边三角形中，是的中点，所以①，.

 在三棱锥中，，②

；

（3）由（1）可知，结合（2）可得.

解决折叠问题，需注意一下两点：1.一定要关注“变量”和“不变量”在证明和计算中的应用:折叠时位于棱同侧的位置关系和数量关系不变;位于棱两侧的位置关系与数量关系变；2.折前折后的图形结合起来使用.本题第一问关键是利用相似比在折叠完以后没有变化，达到证明目的；第二问中借助勾股定理和不变的垂直关系，借助线面垂直的判断定理证明；第三问利用体积转化，充分借助第一问的平行关系和第二问的垂直关系进行求解.

【考点定位】线面平行于垂直、几何体的体积问题.