Question

设各项均为正数的数列的前项和为，满足且构成等比数列．

(1) 证明：；

(2) 求数列的通项公式；

(3) 证明：对一切正整数，有．

Answer

(1)见解析 (2) (3) 见解析

【解析】（1）当时，， 

（2）当时，，,

,

当时，是公差的等差数列.

构成等比数列，，，解得,

由（1）可知，

 是首项,公差的等差数列.

数列的通项公式为.

（3）

(1)直接将n换为1代入递推式求解；（2）借助进行递推转化，进而构造数列为等差数列是解题的关键，考查了学生对式子的操作能力和转化能力.(3)采用列项相消法求和之后再证明.

【考点定位】本题考查数列的通项公式和数列求和问题，以及不等式的证明.