Question

已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线的距离为．设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线，其中为切点．

(1) 求抛物线的方程；

(2) 当点为直线上的定点时，求直线的方程；

(3) 当点在直线上移动时，求的最小值．

Answer

(1)  (2)  (3)

【解析】（1）依题意，解得（负根舍去）

抛物线的方程为；

（2）设点,，，

由,即得. 

∴抛物线在点处的切线的方程为，

即.

∵， ∴ .

∵点在切线上,  ∴.       ①

同理， . ②

综合①、②得，点的坐标都满足方程 .

∵经过两点的直线是唯一的，

∴直线 的方程为，即；

（3）由抛物线的定义可知，

所以

联立，消去得，

当时，取得最小值为 

(1)利用点到直线的距离公式直接求解C的值，便可确定抛物线方程；（2）利用求导的思路确定抛物线的两条切线，借助均过点P，得到直线方程；（3）通过直线与抛物线联立，借助韦达定理和抛物线定义将进行转化处理，通过参数的消减得到函数关系式是解题的关键，然后利用二次函数求最值，需注意变量的范围.

【考点定位】本题考查抛物线的方程、定义、切线方程以及直线与抛物线的位置关系，考查学生的分析问题的能力和转化能力、计算能力.