Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D,E分别是AB，BB₁的中点.

（Ⅰ）证明： BC₁//平面A₁CD;

（Ⅱ）设AA₁= AC=CB=2，AB=2，求三棱锥C一A₁DE的体积.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）连结，交于点F，连结DO，则F为的中点，

因为D为AB的中点，所以FD∥，

又因为FD平面，平面，所以 //平面；

（Ⅱ）因为ABC-A1B1C1是直三棱柱，所以⊥CD，由已知AC=CB，

D为AB的中点，所以CD⊥AB，又，

于是CD⊥平面，即CD是三棱锥C一A1DE的高，

由AA1= AC=CB=2，AB=2得，，CD=，，，，

故，即DE⊥，所以.

本题第（Ⅰ）问，以直三棱为载体，证明空间的线面平行，可以应用线面平行的判定定理，一般情况下，遇到中点想中位线的思想要用上，同时用上侧面为平行四边形的条件;第（Ⅱ）问,求三棱锥的体积，可以证明CD⊥平面，即CD是此三棱锥的高，底面为直角三角形，从而可求出结果.对第（Ⅰ）问，证明线面平行时,容易漏掉条件平面；对第（Ⅱ）问，注意步骤，必须先证明哪个是三棱锥的高，然后再分步求出高与底面积，代入体积公式求出结果.

【考点定位】本小题以直三棱柱为载体，主要考查空间中的直线与直线、直线与平面位置关系的证明、三棱锥体积的求解，考查化归与转化思想，考查空间想象能力、分析问题与解决问题的能力.