Question

在平面直角坐标系xOy中，己知圆P在x轴上截得线段长为2，在轴上截得线段长为.

（Ⅰ）求圆心P的轨迹方程;

（Ⅱ）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）或

【解析】（Ⅰ）设圆P的半径为，由题设，，从而.

故P点的轨迹方程为

（Ⅱ）由题意可知，，即，又由（Ⅰ）知，所以解得，

当时，，，此时圆P的方程为或；

当时，因为，所以不合题意，

综上所述，圆P的方程为或

本题第（Ⅰ）问，设圆心然后由圆中的重要直角三角形结合已知条件列出两个等式，化简即可得到;第（Ⅱ）问,由点到直线的距离公式可得出，再结合（Ⅰ），即可求出圆心P的坐标与圆的半径，从而写出圆的方程.对第（Ⅰ）问，一部分同学不知道如何下手,想不到那个圆中的重要直角三角形，所以在复习时，要多注意规律方法的总结；第（Ⅱ）问,容易漏解，所以在日常复习时，要加强计算能力.

【考点定位】本小题主要考查轨迹方程的求解、圆的方程的求法，考查分类讨论思想、转化与化归思想，考查分析问题与解决问题的能力.