Question

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D， E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE=DC·AF，B, E, F,C四点共圆。

证明：（Ⅰ）CA是△ABC外接圆的直径;

（Ⅱ）若DB=BE=EA.求过B, E, F,C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值.

Answer

见解析

【解析】（Ⅰ）因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以，由题设知，

故∽，所以，因为B、E、F、C四点共圆，所以，

故，所以，因此CA是△ABC外接圆的直径.

（Ⅱ）设DB=BE=EA=，则由切割线定理可得：

，解得，由（1）知：CA是△ABC外接圆的直径，所以，AC⊥CD，解得AC=，CE=，所以过B、E、F、C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为=.

本题第（Ⅰ）问，由两个三角形相似可得出角相等,再由四点共圆,得出,从而得证;第（Ⅱ）问,由切割线定理以及B、E、F、C四点共圆,可以得出两圆的半径,从而得出面积的比值.对第（Ⅰ）问，不容易找到这两个三角形相似;第（Ⅱ）问中两个圆半径的求出容易出错.

【考点定位】本小题主要考查圆的切线、割线、圆内接四边形、勾股定理等平面几何知识，考查数形结合思想，考查分析问题、解决问题的能力.