Question

如图，在四棱柱

（I）当正视方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图（要求标出尺寸，并写出演算过程）；

（II）若M为PA的中点，求证：求二面角

（III）求三棱锥的体积.

Answer

（I）见解析（II）见解析（III）

【解析】（Ⅰ）在梯形中，过点作，垂足为，

由已知得，四边形为矩形，

在中，由，,依勾股定理得：

，从而

又由平面得，

从而在中，由，,得

正视图如右图所示：

（Ⅱ）取中点，连结，

在中，是中点，

∴，，又,

∴，

∴四边形为平行四边形，∴

又平面，平面

∴平面

（Ⅲ）

又，，所以

解法二：

（Ⅰ）同解法一

（Ⅱ）取的中点，连结,

在梯形中，，且

∴四边形为平行四边形

∴，又平面，平面

∴平面，又在中，

平面,平面

∴平面.又,

∴平面平面，又平面

∴平面

（Ⅲ）同解法一

对于立体几何的考查所有关系的决断往往基于对公理定理推论掌握的比较熟练，又要善于做出一线辅助线加以证明，再者就是体积和表面积的计算公式要熟悉.

【考点定位】 本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系及几何体的三视图和体积等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属容易题