Question

如图，四棱锥P-ABCD中，，，和都是等边三角形.

（Ⅰ）证明：；

（Ⅱ）求二面角A-PD-C的大小.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）证明：取BC的中点E，连结DE，则ABED为正方形.

过P作PO⊥平面ABCD，垂足为O.

连结OA，OB,OD,OE.

由和都是等边三角形知PA=PB=PD，

所以OA=OB=OD，即点O为正方形ABED对角线的交点，

故，

从而.           3分

因为O是BD的中点，E是BC的中点，所以OE//CD.因此.  5分

（Ⅱ）解法一：

由（Ⅰ）知，，.

故平面PBD.

又平面PBD，所以.

取PD的中点F，PC的中点G，连结FG，

则FG//CD，FG//PD.

连结AF，由为等边三角形可得AF⊥PD.

所以为二面角A-PD-C的平面角.         8分

连结AG，EG，则EG//PB.

又PB⊥AE，所以EG⊥AE.

设AB=2，则，，

故.

在中，，，，

所以.

因此二面角A-PD-C的大小为.      12分

解法二：

由（Ⅰ）知，OE,OB,OP两两垂直.

以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.

设，则

，，，.

，.

，.

设平面PCD的法向量为，则

，

，

可得，.

取，得，故.      8分

设平面PAD的法向量为，则

，

，

可得.

取m=1，得，故.

于是.

由于等于二面角A-PD-C的平面角，

所以二面角A-PD-C的大小为.     12分

（1）解题的关键是辅助线的添加，取BC的中点E是入手点，然后借助三垂线定理进行证明；（2）利用三垂线定理法或者空间向量法求解二面角. 求二面角：关键是作出或找出其平面角，常用做法是利用三垂线定理定角法，先找到一个半平面的垂线，然后过垂足作二面角棱的垂线，再连接第三边，即可得到平面角。若考虑用向量来求：要求出二个面的法向量，然后转化为,要注意两个法向量的夹角与二面角可能相等也可能互补，要从图上判断一下二面角是锐二面角还是钝二面角，然后根据余弦值确定相等或互补即可。

【考点定位】本题考查线线垂直的证明和二面角的求解，考查学生的空间想象能力和计算能力。