Question

甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判.设各局中双方获胜的概率均为，各局比赛的结束相互独立，第1局甲当裁判.

（Ⅰ）求第4局甲当裁判的概率；

（Ⅱ）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】（Ⅰ）记表示事件“第2局结果为甲胜”，

表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”，

A表示事件“第4局甲当裁判”.

则.                              3分

.           6分

（Ⅱ）X的可能取值为0,1,2.

记表示事件“第3局乙和丙比赛时，结果为乙胜丙”，

表示事件“第1局结果为乙胜丙”，

表示事件“第2局乙和甲比赛时，结果为乙胜甲”，

表示事件“第3局乙参加比赛时，结果为乙负”.

则

，

，    10分

.    12分

（1）利用独立事件的概率公式求解，关键是明确A表示事件“第4局甲当裁判”和表示事件“第2局结果为甲胜”， 表示事件“第3局甲参加比赛时，结果为甲负”之间个独立关系；（2）明确X的可能取值，然后利用独立事件和互斥事件的公式逐一求解.因当x=1时较为复杂，故采用对立事件概率问题进行求解，即

【考点定位】本题考查独立事件和互斥事件的概率问题已经离散型数学期望，考查分析问题和计算能力.