Question

已知双曲线C：（a>0,b>0）的左、右焦点分别为、，离心率为3，直线y=2与C的两个交点间的距离为.

（Ⅰ）求a,b；

（Ⅱ）设过的直线l与C的左、右两支分别交于A、B两点，且，证明：、、成等比数列.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）见解析

【解析】（Ⅰ）由题设知，即，故.

所以C的方程为.

将y=2代入上式，求得.

由题设知，，解得.

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，，C的方程为.  ①

由题意可设的方程为，，代入①并化简得

.

设，，则

，，，.

于是

，

由得，即.

故，解得，从而.

由于，

.

故，

.

因而，所以、、成等比数列.

（1）利用待定系数法求解，利用已知条件建立含义的等量关系，进而确定曲线方程；(2)利用直线与曲线联立方程组，借助韦达定理和弦长公式将、、表示出来，然后借助证明等比中项。

【考点定位】本题考查双曲线方程与直线与双曲线的位置关系，考查舍而不求的思想以及计算能力.