Question

如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁C₁C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA₁C₁C，AB=3，BC=5.

（Ⅰ）求证：AA₁⊥平面ABC；

（Ⅱ）求二面角A₁-BC₁-B₁的余弦值；

（Ⅲ）证明：在线段BC₁存在点D，使得AD⊥A₁B，并求的值.

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】把平面与平面垂直转化为直线和平面垂直.要证直线和平面垂直，依据相关判定定理转化为证明直线和直线垂直.求二面角，往往利用“作——证——求”的思路完成，作二面角是常常利用直线和平面垂直.第（Ⅲ）题，求解有难度，可以空间向量完成.

（Ⅰ）因为为正方形，所以.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C，，且平面ABC平面AA1C1C，

所以⊥平面ABC.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，⊥AC, ⊥AB.

由题意知，所以.

如图，以A为原点建立空间直角坐标系,则.

设平面的法向量为，则即

令，则，所以.

同理可得，平面的法向量为.

所以.

由题知二面角A1-BC1-B1为锐角，所以二面角A1-BC1-B1的余弦值为.

（Ⅲ）设是直线上的一点，且.

所以，解得，所以.

由，即，解得.

因为，所以在线段上存在点D，使得，此时.

【考点定位】本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力.