Question

设l为曲线C：在点(1，0)处的切线.

(I)求l的方程；

(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方

Answer

(I)  (II)见解析

【解析】利用导数的几何意义求出切线的斜率，写出点斜式方程，最后化为一般式.要证曲线C在直线l的下方，只需转化为函数值的大小即可，构造新函数，利用导数完成最值的求解.

(I)设，则，所以，所以l的方程为.

(II)令，除切点外，曲线C在直线l的下方等价于且，.

满足，且.

当时，，所以，故单调递减.

当时，，所以，故单调递增.

所以，对且，.

所以除切点外，曲线C在直线l的下方.

【考点定位】 本题考查了导数的计算和导数的几何意义、切线方程、利用导数求最值，考查了运算求解能力、推理论证能力和转化与化归思想的应用.