Question

已知A、B、C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点.

(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.

(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

Answer

(I)  (II) 不可能是菱形

【解析】利用椭圆的对称性，结合图形完成第(I)小题.设出直线方程，把直线方程和椭圆方程联立，设而不求，结合菱形的特点进行判断.

(I) 椭圆W：的右顶点，因为四边形OABC为菱形，所以和互相垂直平分.

所以可设，代入椭圆方程得，解得.

所以菱形OABC的面积为.

(II)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点，且直线AC不过原点，所以可设AC的方程为y=kx+m,k≠0,m≠0..

由消去y并整理得.

设,则，，

所以AC的中点.

因为M为AC和OB的交点，所以直线OB的斜率为.

因为，所以AC和OB不垂直.

所以四边形OABC不是菱形，与假设矛盾.

所以当B不是W的顶点，四边形OABC不可能是菱形.

【考点定位】本题考查了椭圆的性质和直线与椭圆的位置关系.通过整体代换，设而不求，考查了数据处理能力和整体思想的应用.