Question

已知{a_n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A_n，第n项之后各项，…的最小值记为B_n，d_n=A_n－B_n.

(I)若{a_n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N^*，)，写出d₁，d₂，d₃，d₄的值；

(II)设d为非负整数，证明：d_n=－d(n=1,2,3…)的充分必要条件为{a_n}为公差为d的等差数列；

(III)证明：若a₁=2，d_n=1(n=1,2,3…)，则{a_n}的项只能是1或2，且有无穷多项为1.

Answer

(I) ，. (II)见解析 (III)见解析

【解析】充分利用题目所给信息进行反复推理论证.要证明充要条件，需要充分性和必要性两个方面叙述.

(I) ，.

(II) 充分性：因为是公差为的等差数列，且，所以，

因此，.

必要性：因为，所以.

又因为，所以.

于是.

因此， ，即是公差为的等差数列.

(III)因为a1=2，dn=1，所以，，

故对任意，.

假设，中存在大于2的项，

设m为满足的的最小正整数，

则，并且对任意，

又因为a1=2，所以，且.

于是.

故，与矛盾.

所以对于任意，都有，即非负整数数列的各项只能为1或2,.

因为对任意，，

所以.

故

因此，对于任意正整数，存在满足，且，即数列{an}有无穷多项为1.

【考点定位】本题考查了数列的周期性，等差数列.考查了推理论证能力和数据处理能力.试题难度较大，解答此题，需要非常强的分析问题和解决问题的能力.本题是一个信息题，考查了学生对知识的迁移能力.