Question

设函数，证明：

（Ⅰ）对每个，存在唯一的，满足；

（Ⅱ）对任意，由（Ⅰ）中构成的数列满足.

Answer

见解析

【解析】（1）对每个，当时，，

则在内单调递增，

而，当时，，

故，

又

所以对每个，存在唯一的，满足

当时，，并由（1）知

由在内单调递增知，，故为单调递减数列，

从而对任意,

对任意，

    ①

 ②

①②并移项，利用，得

因此，对任意，.

本题考查的是数列函数，而且含双变量，考生在做题的过程中需要冷静的处理好每个变量.第（1）题考查函数的零点问题，要证明对每个，函数在某个区间上只有一个零点，一方面要证明函数是单调的，求导即可，另一方面要判断的正负问题，此题难点在于判断的正负时，要利用放缩的思想，将这个数列函数放缩到可以利用等比数列求和，从而证明此函数在指定区间内只有一个零点；第（2）题要将数列从数列函数中分离出来，就要通过函数的单调性，由，在内单调递增，确定，则不等式左半边成立，右半边通过作差，数列放缩确定最终.本题属于较难题.

【考点定位】考查函数的导数及其应用，函数零点的判定，等比数列的求和，不等式的放缩等知识.