Question

如图所示，在三棱锥中，平面，，分别是的中点，，与交于，与交于点，连接。

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求二面角的余弦值。

Answer

（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）

【解析】解法一 （Ⅰ）在中，分别是的中点，则是的重心，

同理，所以，因此

又因为是的中位线，所以.

（Ⅱ）解法1 因为 ，所以,又，

所以平面，平面，

为二面角的平面角，

不妨设由三角形知识可得

由余弦定理得

解法2分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，不妨设则

设平面的法向量为，则

，所以，令得

同理求得平面的一个法向量为，

因此

由图形可知二面角的余弦值为

解法二（Ⅰ）证明：因为分别是的中点，

所以∥,∥，所以∥，

又平面，平面，

所以∥平面，

又平面,平面平面，

所以∥，

又∥，

所以∥.

（Ⅱ）解法一：在△中, ,,

所以，即,因为平面,所以，

又，所以平面，由（Ⅰ）知∥,

所以平面，又平面，所以，同理可得，

所以为二面角的平面角，设,连接，

在△中，由勾股定理得，，

在△中，由勾股定理得，，

又为△的重心，所以

同理 ,

在△中，由余弦定理得，

即二面角的余弦值为.

解法二：在△中，,,

所以，又平面,所以两两垂直，

以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设，则,,,，,,所以,,,,

设平面的一个法向量为，

由，,

得

取，得.

设平面的一个法向量为

由，,

得

取，得.所以

因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.

【考点定位】本题考查了空间直线的位置关系的判定和二面角的求法，考查了空间想象能力、推理论证能力和运算能力。第一问主要涉及平面几何的图形性质，中点形成的平行线是常考点之一，论证较为简单。第二问有两种方法可以解决，因图形结构的简洁性，推理论证较为简单，而利用空间向量运算求解二面角就相对复杂了.