Question

甲、乙两支排球队进行比赛，约定先胜局者获得比赛的胜利，比赛随即结束。除第五局甲队获胜的概率是外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是。假设各局比赛结果相互独立。

（Ⅰ）分别求甲队以胜利的概率；

（Ⅱ）若比赛结果为求或，则胜利方得分，对方得分；若比赛结果为，则胜利方得分、对方得分。求乙队得分的分布列及数学期望。

Answer

（Ⅰ）           （Ⅱ）

【解析】解法一 （Ⅰ）设甲胜局次分别为负局次分别为

（Ⅱ）根据题意乙队得分分别为

所以乙队得分的分布列为

解法二（Ⅰ）记“甲队以3：0胜利”为事件，“甲队以3：1胜利”为事件，“甲队以3：2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，

故，

，

所以，甲队以3：0,3:1,3:2胜利的概率分别是，，；

（Ⅱ）设“乙队以3:2胜利”为事件，由题意，各局比赛结果相互独立，所以

由题意，随机变量的所有可能的取值为0,1,2,3，，根据事件的互斥性得

,

,

,

故的分布列为

0

1

2

3

所以。

【考点定位】本题考查了独立事件互斥事件的识别与概率运算、离散型随机变量的分布列和期望，要注意对不同事件的合理表述，便于书写过程。服从于二项分布，可用概率公式进行运算，也可以采用罗列方式进行 ，是对运算能力的常规考查.