Question

椭圆： 的左、右焦点分别是，离心率为，过且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点是椭圆上除长轴端点外的任一点，连接，设的角平分线交的长轴于点，求的取值范围；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点作斜率为的直线,使与椭圆有且只有一个公共点，设直线的斜率分别为。若，试证明为定值，并求出这个定值。

Answer

（Ⅰ）   （Ⅱ）  （Ⅲ）

【解析】（Ⅰ）设，过且垂直于轴的直线与椭圆相交，则其中的一个交点坐标为，由题意可得解得，

所以椭圆的方程为

（Ⅱ）由（Ⅰ）知则

由椭圆定义得

因为平分，

所以

所以，

另【解析】
由题意可知：=,=,

设其中，将向量坐标代入并化简得

，因为，

所以，而，所以.

（Ⅲ）因为与椭圆有且只有一个公共点，则点为切点，设

.

设与联立得，

由得，

所以

另【解析】
由题意可知，为椭圆的在点处的切线，由导数法可求得，切线方程，

所以，而，代入中得

为定值.

【考点定位】本题通过椭圆的离心率、焦点、弦长、定义等基本知识来考查运算能力、推理论证能力。第一问较为简单，通过三者的固有关系确定椭圆方程为.第二问处理方式很多，可利用角平分线性质定理寻找线段间的比例关系、可利用点到直线的距离相等来确定的取值范围，但要注意直线斜率不存在的情形的说明.第三问中的直线的方程设法很多，也是决定运算量大小的关键，如果设为，则会出现，其运算强度较大，而设为可通过得到关系式，大大简化了运算.