Question

设函数(其中).

(Ⅰ) 当时,求函数的单调区间；

(Ⅱ) 当时,求函数在上的最大值.

Answer

(Ⅰ) 函数的递减区间为,递增区间为, (Ⅱ)

【解析】(Ⅰ) 当时,

,

令,得,

当变化时,的变化如下表:

极大值

极小值

右表可知,函数的递减区间为,递增区间为,.

(Ⅱ),

令,得,,

令,则,所以在上递增,

所以,从而,所以

所以当时,；当时,；

所以

令,则,

令,则

所以在上递减,而

所以存在使得,且当时,,

当时,,

所以在上单调递增,在上单调递减.

因为,,

所以在上恒成立,当且仅当时取得“”.

综上,函数在上的最大值.

(1)根据k的取值化简函数的表达式，明确函数的定义域，然后利用求导研究函数的单调区间，中规中矩；（2）借助构造函数的技巧进行求解，如构造达到证明的目的，构造达到证明的目的.

【考点定位】本题考查函数的单调性和函数的最值问题，考查学生的分类讨论思想和构造函数的解题能力.