Question

经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1t该产品获利润500元，未售出的产品，每1t亏损300元.根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如右图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t该农产品.以x（单位：t，100≤x≤150）表示下一个销售季度内经销该农产品的数量，T表示利润.

（Ⅰ）将T表示为x的函数

（Ⅱ）根据直方图估计利润T不少于57000元的概率;

（Ⅲ）在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率（例如：若x,则取x=105，且x=105的概率等于需求量落入[100，110，求T的数学期望.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）0.7（Ⅲ）59400

【解析】（Ⅰ）当时，=，

当时，，

所以.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知利润T不少于57000元，当且仅当，

由直方图知需求量的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7.

（Ⅲ）由题意可得T的分布列为

T

45000

53000

61000

65000

P

0.1

0.2

0.3

0.4

所以=.

本题第（Ⅰ）问，注意讨论;第（Ⅲ）问,求数学期望时,必须先写出T的分布列,然后由期望公式求出所求.本题的易错点是第（Ⅰ）问忘记讨论，第（Ⅲ）问，找不到思路.

【考点定位】本小题主要考查统计与概率、频率、平均数、频率分布直方图等基础知识，属中档题目，考查同学们分析问题与解决问题的能力.