Question

平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：右焦点的直线交于A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为.

(Ι)求M的方程；

（Ⅱ）C,D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CD⊥AB，求四边形面积的最大值

Answer

(Ι) （Ⅱ）

【解析】(Ι)设则，，（1）－（2）得：

，因为，设，因为P为AB的中点，且OP的斜率为，所以，即，所以可以解得，即，即，又因为，所以，所以M的方程为.

（Ⅱ）因为CD⊥AB，直线AB方程为，所以设直线CD方程为，

将代入得：，即、，所以可得

；将代入得：，设则

=，又因为，即，所以当时，|CD|取得最大值4，所以四边形ACBD面积的最大值为.

本题第（Ⅰ）问，属于中点弦问题,运用设而不求的数学思想;第（Ⅱ）问,运用弦长公式求出弦长,然后由面积公式求出面积的最大值.对第（Ⅰ）问，一部分同学想不到设而不求的思想,容易联立方程组求解而走弯路；第（Ⅱ）问,容易出现计算失误.

【考点定位】本小题考查椭圆的方程的求解、直线与椭圆的位置关系，考查数学中的待定系数法、设而不求思想 ，考查同学们的计算能力以及分析问题、解决问题的能力.圆锥曲线是高考的热点问题,年年必考,熟练本部分的基础知识是解答好本类问题的关键.