Question

已知函数f(x)=-ln(x+m).

(Ι)设x=0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；

（Ⅱ）当m≤2时，证明f(x)>0.

Answer

(Ι) 在上是减函数；在上是增函数（Ⅱ）见解析

【解析】(Ι)因为, x=0是f(x)的极值点，所以,解得，

所以函数f(x)=-ln(x+1)，其定义域为，因为=，

设，则，所以在上是增函数，又因为，所以当时，，即；当时，，，所以

在上是减函数；在上是增函数.

（Ⅱ）当m≤2，时，，故只需证明当时，.

当时，函数在单调递增，

又故在有唯一实根，且，

当时，；当时，，从而当时，取得最小值，

由得：，即，

故=，

综上，当m≤2时，.

本题第（Ⅰ）问，由极值点得出,在x=0处的导数等于0,求出m值;对单调性,而判断导数的正负号，从而需构造函数，通过判断函数的单调性，来得出的正负，从而求得结果; 对第（Ⅱ）问,要证明,只需要证明即可.对第(Ι)问,函数单调性的讨论,一部分想不到构造函数;对第（Ⅱ）问,证明不等式,找不到思路.

【考点定位】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值、最值、证明不等式等知识，综合性较强，考查函数与方程、分类讨论等数学思想，考查同学们分析问题、解决问题的能力，熟练函数与导数的基础知识以及基本题型是解答好本类题目的关键.