Question

在平面直角坐标系xOy中，将从点M出发沿纵、横方向到达点N的任一路径成为M到N的一条“L路径”。如图所示的路径都是M到N的“L路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面xOy内三点处。现计划在x轴上方区域（包含x轴）内的某一点P处修建一个文化中心。

（I）写出点P到居民区A的“L路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；

（II）若以原点O为圆心，半径为1的圆的内部是保护区，“L路径”不能进入保护区，请确定点P的位置，使其到三个居民区的“L路径”长度值和最小。

Answer

（I）（II）P（3,1）处

【解析】（1）点P到居民区A的“L路径”长度最小值为.

（2）依题意，点P到三个居民区的“L路径”长度之和的最小值为点P分别到三个居民区的“L路径”长度之和（记为d）的最小值；

1、当时，，因为

当且仅当时等号成立；

又因为，当且仅当时等号成立，

所以，当且仅当时等号成立. ，当且仅当时等号成立.

故当P的坐标为（3,1）时，P到三个居民区的“L路径”长度之和最小，且最小值为45；

2、当时，由于“L路径”不能进入保护区，所以”，此时，，有1知，，，当且仅当时等号成立，综上所述，在P（3,1）处修建文化中心，可以使得“L路径”长度之和最小.