Question

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分。每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品。

（Ⅰ）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为,求的概率；

（Ⅱ）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大

【解析】（Ⅰ）由已知得：小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分”的事件为A，则A事件的对立事件为“”，

，

这两人的累计得分的概率为．

（Ⅱ）设小明．小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为，都选择方案乙抽奖中奖的次数为，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为

由已知：，

，

，

他们都在选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望最大．

对于概率应用的考查就注重理解题意，方法选择要恰当，比如用对立事件的方向就可以大大减少计算量。再有，注意甄别事件是否为二项分布或超几何分布也会给计算带来方便。

【考点定位】 本题主要考查古典概型、离散型随机变更的分布列、数学期望等基础知识。属容易题。