Question

如图，在正方形中，为坐标原点，点的坐标为，点的坐标为，分别将线段和十等分，分点分别记为和，连接，过作轴的垂线与交于点。

（Ⅰ）求证：点都在同一条抛物线上，并求抛物线的方程；

（Ⅱ）过点作直线与抛物线E交于不同的两点, 若与的面积之比为4:1，求直线的方程。

Answer

 （Ⅰ）见解析（Ⅱ）直线的方程为，即或

【解析】（Ⅰ）依题意，过且与x轴垂直的直线方程为

，直线的方程为

设坐标为，由得：，即，

都在同一条抛物线上，且抛物线方程为

（Ⅱ）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为

由得

此时，直线与抛物线恒有两个不同的交点

设：，则

又，

分别带入，解得

直线的方程为，即或

此题在问法上给学生设了一个卡，如果第一问直接问的轨迹方程，估计学生更容易入手一些，不过对于知识要活学活用（证明它求出不就说明问题了）。那么第二问有关解析几何的计算就要善于转化，且计算要过关。

【考点定位】 本题考查抛物线的性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，化归与转化及数形结合思想、函数与方程思想。属于中等难度。