Question

如图，在四棱柱中，侧棱底面,

（Ⅰ）求证：平面

（Ⅱ）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值

（Ⅲ）现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱，规定：若拼成的新四棱柱形状和大小完全相同，则视为同一种拼接方案，问共有几种不同的拼接方案？在这些拼接成的新四棱柱中，记其中最小的表面积为，写出的解析式。（直接写出答案，不必说明理由）

Answer

（Ⅰ）见解析（Ⅱ）1（Ⅲ）共有种不同的方案

【解析】（Ⅰ）取中点，连接

，               

四边形为平行四边形

且

在中，

,即，又，所以

平面，平面

，又，

平面

（Ⅱ）以为原点，的方向为轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，，，

所以，，

设平面的法向量，则由

得取，得

设与平面所成角为，则

，解得．故所求的值为1

（Ⅲ）共有种不同的方案

立体几何第一问对于关系的决断往往基于对公理定理推论掌握的比较熟练，又要善于做出一线辅助线加以证明，那么第二问就可以在其基础上采用坐标法处理角度或者距离问题，坐标法所用的公式就必需熟练掌握，第三问主要考查了学生的空间思维能力，要在平时多加练习。此题坐标法也很考验学生的计算功底。

【考点定位】 本题主要考查立体几何中线线关系线面关系的判断以及线面角的算法，并且通过第三问的设问又把几何体的表面积与函数巧妙的结合起来，计算和空间思维要求比较高。属于难题。