Question

已知函数

（I）求证 

（II）若取值范围.

Answer

（I）见解析（II）

【解析】（I）解法一要证

令，则，可得在

[0,1]上为增函数，故。

要证，也就是证，即证，也就是证

令，则可得在[0,1]上为增函数，

故

综上可得

（I）解法二要证，也就是证

令，令

，即为增函数，

，可得在 [0,1]上为增函数，

故；

要证，也就是证，即证，令

，，可得

即，从而得，故

综上可得

（II）

，

，

,从而

所以，

下面注明，

=

，令则

于是，

此时

综上

第一问中的解法一采取对已知函数进行分离整理，使得函数的结构变得简单对称，求得导函数也就变得简单了，但是在解题过程中很难想到。解法二是直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。

第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答。

【考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用。