Question

如图, 四棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A₁O⊥平面ABCD, .

(Ⅰ) 证明: A₁C⊥平面BB₁D₁D;

(Ⅱ) 求平面OCB₁与平面BB₁D₁D的夹角的大小.

Answer

(Ⅰ) 见解析(Ⅱ) 所求夹角的大小为

【解析】如图建立空间直角坐标系，

由可知

(Ⅰ), ,

,即，且

所以

（Ⅱ）容易求得平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，所求夹角余弦值为.所求夹角的大小为.

本题考查空间直线与平面的位置关系和二面角问题，考查空间想象能力和推理论证能力、对公式的熟练准确运用.此类问题的易错点是未能合理的建立空间直角坐标系，找好线面的垂直关系.空间向量的解决对法向量求解不准确，二面角的锐角和钝角判断不准会导致结果错误.

【考点定位】本题考查空间直线现平面的位置关系和二面角问题，考查空间想象能力和推理论证能力.