Question

在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名选手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手.

(Ⅰ) 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率;

(Ⅱ) X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望.

Answer

(Ⅰ)

(Ⅱ) X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

【解析】(Ⅰ) 由于观众甲必选1，不选2，则观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙未选中3号歌手的概率为，甲乙选票彼此独立，故观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为.

(Ⅱ)X的所有可能取值为0,1,2,3.由(Ⅰ)知，观众甲选中3号歌手的概率为，观众乙选中3号歌手的概率为，则观众丙选中3号歌手的概率也为，则

,,

,.

则X的分布列如下：

X

0

1

2

3

P

.

本题考查涉及排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题，(Ⅰ)问中考查了“观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手”互斥事件同时发生的概率，也可以利用树形图解决.(Ⅱ)问中要注意分布列性质运用，验证概率总合是否为1.此类问题在高考中属于常考重点题型，必须熟练掌握.

【考点定位】本题考查排列组合、概率、随机变量分布列和期望问题.属于中档题.