Question

如图，已知椭圆，是长轴的左、右端点，动点满足，联结，交椭圆于点．

（1）当，时，设，求的值；

（2）若为常数，探究满足的条件？并说明理由；

（3）直接写出为常数的一个不同于（2）结论类型的几何条件．

Answer

（1）4

（2）时，为常数．

（3）“设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或．

【解析】

试题分析：解 （1）直线，解方程组 ，得．

所以．     …5分

（2）设，，

因为三点共线，于是，即．   7分

又，即．      9分

所以

．

所以当时，为常数．    14分

另解 设，解方程组 得．

要使为定值，有，即．（相应给分）

（3）若考生给出“设为椭圆的焦点，为短轴的顶点，当为等腰三角形时，为常数或．”       16分

若考生给出“当时，为常数或．”  18分

（ 注：本小题分层评分）

考点：直线与椭圆的位置关系