Question

定义：如果数列的任意连续三项均能构成一个三角形的三边长，则称为“三角形”数列．对于“三角形”数列，如果函数使得仍为一个“三角形”数列，则称是数列的“保三角形函数”，.

（Ⅰ）已知是首项为2，公差为1的等差数列，若是数列的“保三角形函数”，求k的取值范围；

（Ⅱ）已知数列的首项为2010，是数列的前n项和，且满足，证明是“三角形”数列；

（Ⅲ）根据“保三角形函数”的定义，对函数，，和数列1，，，（）提出一个正确的命题，并说明理由．

Answer

（Ⅰ），（Ⅱ）先求出数列的通项公式，然后根据“三角形”数列的定义证明即可，（3）函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．②数列中的各项必须在定义域内，即.

③是三角形数列.由于，是单调递减函数，所以，解得．

【解析】

试题分析：（1）显然，对任意正整数都成立，

即是三角形数列．                              2分

因为k>1，显然有，由得，解得.

所以当时，是数列的“保三角形函数”.   5分

（2）由得,两式相减得

所以，，

经检验，此通项公式满足                7分

显然，因为，

所以 是“三角形”数列．                         10分

（3）探究过程： 函数，是数列1，1+d，1+2d 的“保三角形函数”，必须满足三个条件：

①1，1+d，1+2d是三角形数列，所以，即．

②数列中的各项必须在定义域内，即.

③是三角形数列.

由于，是单调递减函数，所以，解得．

考点：本题考查了数列的运用