Question

 对于三次函数，定义是的导函数的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”，可以证明，任何三次函数都有“拐点”，任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，请你根据这一结论判断下列命题：

①任意三次函数都关于点对称：

②存在三次函数有实数解，点为函数的对称中心；

③存在三次函数有两个及两个以上的对称中心；

④若函数，则，

其中正确命题的序号为                  (把所有正确命题的序号都填上）.

Answer

①②④

【解析】

试题分析：∵f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），∴f′（x）=3ax2+2bx+c，f''（x）=6ax+2b，

∵f″(x)=6a×(-)+2b=0，∴任意三次函数都关于点（-，f（-））对称，即①正确；

∵任何三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，

∴存在三次函数f′（x）=0有实数解x0，点（x0，f（x0））为y=f（x）的对称中心，即②正确；

任何三次函数都有且只有一个对称中心，故③不正确；

∵，∴g′（x）=x2-x，g''（x）=2x-1，

令g''（x）=2x-1=0，得x=，∵g（）=3-×()2-=-，

∴函数的对称中心是（，-），

∴g（x）+（g（1-x）=-1，

∴，故④正确．

故答案为：①②④．

考点：应用导数研究函数的性质