Question

已知函数．

(1)求的单调区间；

(2)当时，判断和的大小，并说明理由；

(3)求证：当时，关于的方程：在区间上总有两个不同的解．

Answer

（1）单调递增区间为，，单调递减区间为

（2）当时，

（3）构造函数考虑函数，借助于导数来判定单调性，从而得到极值来判定。

【解析】

试题分析：（1）

当时可解得，或

当时可解得

所以函数的单调递增区间为，，

单调递减区间为                         

（2）当时，因为在单调递增，所以

当时，因为在单减，在单增，所能取得的最小值为，，，，所以当时，．

综上可知：当时，．                         

（3）即

考虑函数，

，，

所以在区间、分别存在零点，又由二次函数的单调性可知：最多存在两个零点，所以关于的方程：在区间上总有两个不同的解  

考点：导数的运用