Question

已知抛物线的焦点为F₂，点F₁与F₂关于坐标原点对称，直线m垂直于x轴，垂足为T，与抛物线交于不同的两点P、Q且.

（1）求点T的横坐标；

（2）若以F₁,F₂为焦点的椭圆C过点.

①求椭圆C的标准方程；

②过点F₂作直线l与椭圆C交于A,B两点，求的取值范围.

Answer

（1）

（2），

【解析】

试题分析：【解析】
（1）由题意得，，设，

则，.

由，

得即，①                       2分

又在抛物线上，则，②

联立①、②易得                                      4分

（2）①设椭圆的半焦距为，由题意得，

设椭圆的标准方程为，

则   ③ ，         ④               5分

将④代入③，解得或（舍去）

所以                                          6分

故椭圆的标准方程为                             7分

②. （ⅰ）当直线的斜率不存在时， ，，

又，所以            8分

（ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

由得

设，则由根与系数的关系，

可得：，                    9分

因为，所以，

又，

故

       11分

令，因为，即，

所以

所以                                   13分

综上所述：.                             14分

考点：直线与椭圆位置关系