Question

数列满足．

（1）计算，，，，由此猜想通项公式，并用数学归纳法证明此猜想；

（2）若数列满足，求证：．

Answer

（1）1，，， an＝ (n∈N*)．

（2）运用数学归纳法证明来分为两步骤来加以证明即可。

【解析】

试题分析：【解析】
（1）当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1.

当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝.                        1分

当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝.

当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝S4＝2×4－a4，∴a4＝.              2分

由此猜想an＝ (n∈N*)．                                     4分

现用数学归纳法证明如下：

①当n＝1时， a1＝＝1，结论成立．

②假设n＝k（k≥1且k∈N*）时，结论成立，即ak＝，那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝Sk＋1－Sk＝2(k＋1)－ak＋1－2k＋ak＝2＋ak－ak＋1，

∴2ak＋1＝2＋ak，∴ak＋1＝＝＝，故当n＝k＋1时，结论成立，

由①②知猜想an＝ (n∈N*)成立．                                    8分

(2)由(1)知，，．               9分

解法1：当时， 

                10分

．                                12分

解法2：当时，，

                           10分

．              12分

解法3： 当时，                     10分

．   12分

考点：数学归纳法证明